函数极限定义及基本性质

一、函数极限的定义

定义 1：自变量趋向于定点 $x_0$ 时函数的极限。

$\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}f(x)=A\iff$ 对于 $\mathrm{\forall }\epsilon >0，\mathrm{\exists }\delta >0$ ，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时, 有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 。

考点梳理

• 定义中"$x\to x_0$"表示"$x_0$ 的某去心邻域"。若利用数学语言表达，即：

$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }\delta >0\end{array}$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时。

• 极限 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}f(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的函数值无关。

• 极限存在的必要条件：

  
  

  若极限 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}f(x)$ 存在，则函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某去心邻域内处处有定义。

例 1.10

给出以下四个命题：

（1）若 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}f(x)=A$ ，则 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}|f(x)|=|A|$

（2）若 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}|f(x)|=|A|$ ，则 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}f(x)=A$

（3）若 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}f(x)=0$ ，则 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}|f(x)|=0$

（4）若 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}|f(x)|=0$ ，则 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}f(x)=0$

其中真命题的个数是 __________ 。

A． 1

B． 2

C． 3

D． 4

【答案】

【解析】

略

本题结论：

• 若 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}f(x)=A$ ，则 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}|f(x)|=|A|$ ，但反之却不一定成立；

• 若 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}f(x)=0$ ，则 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}\end{array}|f(x)|=0$ ，反之也成立。

定义2：自变量趋向于定点 $x_0$ 时函数的左右极限 （1）右极限

$\begin{array}{r}\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0\end{array}$ ，当 $0<x-x_0<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$。

（2）左极限

$\begin{array}{r}\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0\end{array}$ ，当 $-\delta <x-x_0<0$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$。

【注】 $\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A\end{array}$。

极限性质 1 ：唯一性

极限性质 2 ：局部保号性

极限性质 3 ：局部有界性